1. Aufgaben

Aufgabe 1.1. Sei A eine n × n-Matrix. Ax = b habe zwei linear unabhängige Lösungen. Wie groß ist dann rang(A) höchstens?

Aufgabe 1.2. Wahr oder falsch?

• Ein Gleichungssystem mit mehr Gleichung als Unbekannten hat immer eine Lösung.

• Ein Gleichungssystem mit weniger Unbekannten als Gleichungen ist niemals lösbar.

• Ein lineares Gleichungssytem Ax = b ist genau dann eindeutig lösbar, wenn dass homogene Gleichungssytem Ax = 0 nur die triviale Lösung hat.

Aufgabe 1.3. Welche Dimension hat der von den folgenden Vektoren aufgespannte Unterraum

• (\begin{matrix}2 \\ 5 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 \\ −6 \\ 3 \\ −8 \end{matrix}) , (\begin{matrix}7 \\ 4 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) im ℝ^{4}?

• (\begin{matrix}0 \\ 5 \\ 0 \\ 4 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 3 \\ 0 \\ −8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 4 \\ 0 \\ 5 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) im ℝ^{6}?

• (\begin{matrix}2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}7 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}4 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) im ℝ^{3}?

Aufgabe 1.4. Ermittele die Dimension des Kerns der lineare Abbildung f : ℝ^{4} →

ℝ^{3}, wobei f(x) = Ax und A = (\begin{matrix}2 & 1 & 3 & 5 \\ 4 & 2 & 6 & 10 \\ 1 & 0 & −1 & 6 \end{matrix}). Weiter bestimme eine Basis des

Kerns und bestimme die Lösungmenge der Gleichug Ax = b, wobei b = (\begin{matrix}3 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}).

Aufgabe 1.5. Bestimme die Koeffinzienten des reelen Polynoms p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d mit p(−1) = 2, p(1) = 1, p(−2) = 1 und p(2) = 2.

Aufgabe 1.6. Beweise: Sei f : V → W eine linear Abbildung und (v_{1}, ..., v_{n}) Basis von V. Weiter sei (v_{1}, ...v_{d}) eine Basis des Kerns von f, dann ist (f(v_{d+1}), ..., f(v_{n})) linear unabhängig in W.

Aufgabe 1.7. Beweise: Es gibt keine injektive lineare Abbildung von ℝ^{4} → ℝ^{3} und es gibt keine surjektive Abbildung von ℝ^{3} → ℝ^{4}.