1. Aufgaben

Aufgabe 1.1. Wahr oder falsch?

(i) Es gibt genau ein Skalarprodukt auf dem ℝ^{n}. (ii) Sei A eine n×n-Matrix, <, > das Standard-Skalarprodukt auf dem ℝ^{n}, dann

ist ρ(x, y) :=< x, Ay > genau dann ein Skalarprodukt, wenn A symmetrisch und detA > 0 ist.

(iii) Jede orthogonale Matrix ist invertierbar. (iv) Jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch.

(v) Zwei Matrizen sind ähnlich, wenn sie dieselbe Spur haben. (vi) Zwei Matrizen, die ähnlich sind, haben dieselbe Spur. (vii) Eine Matrix, die über ℝ nicht diagonalisierbar ist, ist über ℂ diagonalisier-

bar. (viii) Sei f ein Endomorphismus eines euklidischen Vektorraumes, dann ist f

selbstadjungiert, genau dann wenn < f(v), f(w) >=< v, w >. (ix) Jede symmetrische Matrix ist normal.

Aufgabe 1.2. Beweise: (V, σ) endl. dim., euklidischer Vektorraum und (b_{1}, ..., b_{n}) Orthonormalbasis. Weiter sei v ∈ V, dann ist v = ∑_{i=1}^{n} σ(v, b_{i})b_{i}.

Aufgabe 1.3. Beweise oder widerlege: Keine nilpotente Matrix ist diagonalisierbar.

Aufgabe 1.4. Definiere folgende Begriffe:

• Skalarprodukt,

• euklidischer Vektorraum,

• Winkel und Länge,

• orthogonal,

• Orthonormalbasis,

• Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren,

• orthogonale Abbildung,

• selbstadjungiert,

• hermitesche Form,

• hermitesche Matrix,

• orthogonale Matrix,

• diagonalisierbare Matrix,

• normale Matrix,

• Eigenwert,

• Eigenvektor,

• Eigenraum,

• charakteristische Polynom,

• geometrische Vielfachheit,

• algebraische Vielfachheit

• ...