1. Aufgaben

Aufgabe 1.1. Definiere die folgenden Begriffe:

• Bilinearform,

• Skalarprodukt,

• Hermitsche Form und

• Orthogonalität.

Aufgabe 1.2. Wahr oder falsch?

• Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung V × V → V, wobei V Vektorraum.

• Wenn <, > ein Skalarprodukt auf dem ℝ^{n}ist , dann gilt für alle x, y ∈ ℝ^{n}: < x, y >= x_{1}y_{1} + ... + x_{n}y_{n}.

• Sei V ℝ-Vektorraum und <, > ein Skalarprodukt auf V, dann gilt: < v, v >= 0 ⇒ v = 0_{V}.

Aufgabe 1.3. Beweise: < x, y >:= 4x_{1}y_{1} − 2x_{1}y_{2} − 2x_{2}y_{1} + 3x_{2}y_{2} definiert ein Skalarprodukt auf dem ℝ^{2}.

Aufgabe 1.4. Beweise: Für komplexe Zahlen a, b gilt:

• \overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b}

• \overline{ab} = \overline{a}\overline{b}

• a\overline{a} = (Re a)^{2} + (Im a)^{2} ∈ ℝ

Aufgabe 1.5. Sei a_{1} = (4, 2, −2, 1), a_{2} = (2, 2, −4, −5), a_{3} = (0, 8, −2, −5), a_{4} = (1, 2, 0, 1) eine Basis von ℝ^{4}. Orthonormalisiere diese Basis.

Aufgabe 1.6. Betrache den Vektorraum aller in [0, 1] stetigen reelen Funktionen. Zeige, dass < f, g >= ∫_{0}^{1} f(t)g(t)dt ein Skalarprodukt ist.