1. Aufgaben

Aufgabe 1.1. Definiere die folgenden Begriffe:

• Länge eines Vektors in euklidischen Vektorräumen,

• Winkel in beliegen euklidischen Vektorräumen,

• Orthogonalität,

• orthogonales Komplement und

• Orthonormalbasis.

Aufgabe 1.2. < x, y >:= 4x_{1}y_{1} − 2x_{1}y_{2} − 2x_{2}y_{1} + 3x_{2}y_{2} ist ein Skalarprodukt auf dem ℝ^{2}. Berechne den Winkel zwischen (1, 0) und (0, 1) bzgl. diesem Skalarproduktes. Wie lang sind die beiden Vektoren bzgl. dieses Skalarproduktes? Weiterhin bestimme eine Orthonormalbasis des ℝ^{2} mit diesem Skalarprodukt.

Aufgabe 1.3. Bestimme eine Orthonormalbasis des von folgenden Vektoren aufgespannten Untervektorraum des ℝ^{3}: (−3, −3, 3, 3), (−5, −5, 7, 7), (4, −2, 0, 6). Ausserdem berechne das orthogonale Komplement dieses Vektorraumes.

Aufgabe 1.4. Zeige: < x, y >:= x^{T} Ay, wobei A := (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix}), ist ein Skalarpro-

dukt auf dem ℝ^{3}. Orthonormalisiere die kanonische Basis des ℝ^{3} bzgl. dieses Skalarproduktes. Bestimme weiter den Winkel zwischen (0, 4, 5) und (1, 3, 6) bzgl. dieses Skalarproduktes.

Aufgabe 1.5. Betrachte wir nun den komplexen Vektorraum ℂ^{2}. Dann definiert < x, y >:= 4x_{1}\overline{y_{1}} − 2x_{1}\overline{y_{2}} − 2x_{2}\overline{y_{1}} + 3x_{2}\overline{y_{2}} ein positiv definite Hermitische Form auf dem ℂ^{2}.

Aufgabe 1.6. Im reelen Vektorraum aller in [0, 1] stetigen reelen Funktionen ist < f, g >= ∫_{0}^{1} f(t)g(t)dt ein Skalarprodukt. Bestimme eine Orthonormalbasis des von den Polynomen x^{0}, x^{1}, x^{2} und x^{3} aufgespannten Untervektorraumes.