1. Aufgaben

Aufgabe 1.1. Definiere die folgenden Begriffe:

• Adjungierte Abbildung,

• selbstadjungiert,

• orthogonales Komplement und • orthogonale Abbildung.

Aufgabe 1.2. Sei (V, <, >) euklidischer Vektorraum, f, g ∈ End(V). Was ist die adjungierte Abbildung zur Identität? Wenn f^{∗} die adjungierte Abbildung zu f ist, was ist dann die adjungierte Abbildung zu αf, für α ∈ ℝ? Sei ausserdem g^{∗} die adjungierte Abbildung zu g, was ist dann die adjungierte Abbildung zu fg?

Aufgabe 1.3. Beweise: (V, <, >) euklidischer Vektorraum, f ∈ End(V), dann gilt V = kerf^{∗} ⨁ imf.

Aufgabe 1.4. Berechne das orthogonale Komplement des von (1, 1, 4) und (2, 3, −1) aufgespannten Unterraumes des ℝ^{3} bzgl. des Standartskalarproduktes.

Aufgabe 1.5. < x, y >:= x^{T} Ay, wobei A := (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix}), ist ein Skalarprodukt auf

dem ℝ^{3} (nach Aufgabe 4 des vorherigen Zettels). Bestimme diesmal das orthogonale Komplement des Untervektorraumes, aufgespannt von (1, 0, 0) und (0, 1, 0), bzgl. diese Skalarprduktes.

Aufgabe 1.6. Man betrachte den ℝ^{2} und ℝ^{3} mit seinen Standartskalarprodukten. Ist dann die Einbettung des ℝ^{2} in den ℝ^{3} eine orthogonale Abbildung?