1. Aufgaben

Aufgabe 1.1. Definiere die folgenden Begriffe:

• hermitesch,

• GL_{n}(ℝ),

• orthogonale Abbildung und orthogonale Matrix und • ausgeartete Bilinearform.

Aufgabe 1.2. Man betrachte eine orthogonale Abbildung A : ℝ^{2} → ℝ^{2}. Welche Länge hat dann A(e_{1}) und A(e_{2}), wobei e_{1} = (1, 0) und e_{2} = (0, 1)? Wie sehen dann A(e_{1}) und A(e_{2}) aus? Welchen Wert hat dann < Ae_{1}, Ae_{2} >? Wie lässt sich A(e_{1}) und A(e_{2}) genau darstellen?

Aufgabe 1.3. Beweise: Seien V, W euklidische Vektorräume gleicher Dimension, f : V → W und b_{1}, ..., b_{n} orthogonale Basis von V , dann ist (f(b_{1}), ..., f(b_{n})) orthonormale Basis von W genau dann, wenn f orthogonal ist.

Aufgabe 1.4. Folgere aus der voherigen Aufgabe: Jede orthogonale Abbildung zwischen gleichdimensionalen euklidischen Vektorräumen ist bijektiv.

Aufgabe 1.5. Beweise: Eine Matrix A ∈ Mat(n, n, ℝ) ist genau dann orthogonal, wenn die Spalten bzgl. des üblichen Skalarproduktes eine Orthonormalbasis sind. Weiter gilt: A ist genau dann orthogonal, wenn A^{t}A = E.

Aufgabe 1.6. Beweise: Die orthogonalen n × n-Matrizen bilden mit der normalen Matrixmultiplikation eine Gruppe.