1. Aufgaben

Aufgabe 1.1. Definiere die folgenden Begriffe:

• Spiegelungen,

• normaler Endomorphismus.

Aufgabe 1.2 (Spiegelungen im ℝ^{2}). Sei v = (3, 2). Welchen Vektor erhält man, wenn man an der Gerade durch < (1, 2) > spiegelt?

Aufgabe 1.3 (Spiegelungen im ℝ^{3}). Sei U, der durch (1, 1, 0) und (0, 1, 1) aufgespannte Untervektorraum des ℝ^{3}. Bestimme die Spiegelung von (1, 2, 3) an diesem Unterraum.

Aufgabe 1.4 (Eigenschaften von Spiegelungen). Sei (V, σ) ein eukldischer Vektorraum, s_{a} : V → V, s_{a}(x) := x − 2\frac{σ(a,x)}{σ(a,a)}a ist die Spiegelung an < a >^{⊥}. Beweise:

• s_{a} ∘ s_{a} = Id,

• s_{a}(a) = −a und
• σ(s_{a}(x), y) = σ(x, s_{a}(y)) für alle x, y ∈ V.

Aufgabe 1.5 (Matrixdarstellung von linearen Abbildungen). Definiere die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen? Ist diese Abbildung abhängig von den gewählten Basen? Was passiert, wenn man die Basis wechselt?

Aufgabe 1.6 (Basiswechsel). Betrachte nun den ℝ^{3}. Sei B := {(1, 2, 0), (0, −1, 0), (3, 0, 1)}. Berechne die Matrixdarstellung von f : ℝ^{3} → ℝ^{3}, (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ (2x_{1} + x_{2}, x_{3}, x_{2} − x_{3}) bzgl. B. Sei nun C := (0, 2, 0), (1, 0, 0), (0, 0, −1). Berechne nun den Basiswechsel von B zu C.